Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера^[1].

Определение регулярной функции

Рассмотрим оператор

Функция кватернионного переменного называется регулярной, если

Гармонические функции

Пусть , тогда и . Несложно проверить, что оператор имеет вид

и совпадает с оператором Лапласа в . Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в . Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции существует регулярная кватернионная функция такая, что . Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Некоторые применения

Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх

Производная Гато

Пусть — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной в точке как такое число, что

где такая функция , что

Множество функций, которые имеют левую производную, весьма ограничено. Например, такие функции, как

не имеют левой производной.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

Таким образом, мы можем определить производную как такое аддитивное отображение приращения, что

Нетрудно показать^[2], что дифференциал можно определить с помощью равенства

где - действительная переменная. Следовательно, производная функции кватерниона является производной Гато.

Так как производная функции кватерниона является аддитивным отображением, то дифференциал отображения можно записать в виде^[3]

Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения и называются компонентами производной.

Производная Гато удовлетворяет равенствам

Если , то

Если , то

Примечания