Теорема Гаусса — Ванцеля утверждает, что правильный -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда , где — различные простые числа Ферма. Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера является степенью 2-ки.

История

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для n = 2^k, 3·2^k, 5·2^k и 3·5·2^k.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при , где — различные простые числа Ферма. (Здесь случай m = 0 соответствует n = 2^k.) В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

• Построение правильного 17-угольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году.
• Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году.^[1]
• В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом 10-летней работы О. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.

Ссылки