22-06-2023
Непрерывность по Скотту в математике — свойство функций над частично упорядоченными множествами, выражающееся в сохранении точной верхней грани относительно отношения частичного порядка.
Топология Скотта — структура над полной решёткой или, в более общем случае, над полным частично упорядоченным множеством, в которой открытыми считаются верхние множества, недоступные для прямых соединений, или эквивалентно, топология, в рамках которой функции над частично упорядоченными множествами, сохраняющие точную верхнюю грань, являются непрерывными[1].
Понятия были разработаны в 1970-е годы Даной Скоттом, благодаря этим понятиям построены первая непротиворечивая модель бестипового λ-исчисления и денотационная семантика языков программирования. В частности, функции аппликации и каррирования являются непрерывными по Скотту[2].
Содержание |
Если и — частично упорядоченные множества, то функция между ними является непрерывной по Скотту если для любого направленного подмножества существует точная верхняя грань его образа , притом выполнено следующее условие: .
Топология Скотта на полном частично упорядоченном множестве вводится определением открытого множества как обладающего следующими свойствами:
Топология Скотта была впервые введена для полных решёток[4], впоследствии была обобщена до полных частично упорядоченных множеств[3].
Категория, объектами которой являются полные частично упорядоченные множества, а морфизмами — непрерывные по Скотту отображения, обозначается .
Функции, непрерывные по Скотту, всегда монотонны относительно отношения частичного порядка.
Подмножество частично упорядоченного множество замкнуто в топологии Скотта тогда и только тогда, когда оно является нижним множеством и включает точные верхние грани всех своих подмножеств[5].
Полное частично упорядоченное множество, наделённое топологией Скотта всегда является T0-пространством, а хаусдорфовым — тогда и только тогда, когда отношение порядка тривиально[5].
Любая функция, непрерывная по Скотту, отображающая полное частично упорядоченное множество на себя, обладает единственной неподвижной точкой. Кроме того, отображение , определённое на множестве непрерывных по Скотту функций и возвращающее для каждой функции значение её неподвижной точки (), само является непрерывным по Скотту[6].
Категория является декартово-замкнутой[7].
Близкой по свойствам к топологии Скотта конструкцией является категория -пространств, разработанная Юрием Ершовым в 1975 году[8] — с её помощью также может быть построена непротиворечивая модель λ-исчисления. В качестве её преимущества отмечается[9], что категория -пространств является декартово замкнутой, каждый объект в ней является топологическим пространством, топология на произведении является произведением топологий сомножителей, а топология в пространстве функций оказывается топологией поточечной сходимости. Такими удобными свойствами топология Скотта не обладает, в частности, произведение топологий Скотта на полных частично упорядоченных множеств в общем случае топологией Скотта на произведении множеств не является.
Непрерывность по Скотту.