Расширенная числовая прямая

Расширенная числовая прямая (читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел , дополненное двумя элементами: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть

$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$

Бесконечности и , которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличие от вещественных чисел , называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства

$-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty$

Cледует отличать расширенную числовую прямую от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью . Такая система называется проективной прямой, и обозначается

Мотивировка

При формулировке многих теорем и определений математического анализа приходится отдельно рассматривать случаи «конечного» и «бесконечного».

Например, отдельно формулируются понятия сходящейся последовательности

$\lim_{n \to \infty}x_n = a \in \mathbb{R} \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall n (n > \delta \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon)$

и последовательности, предел которой равен :

$\lim_{n \to \infty}x_n = +\infty \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall n (n > \delta \Rightarrow x_n > \varepsilon)$

Отдельно формулируются понятия предела функции при

$\lim_{x \to a}f(x) = A \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x (|x-a|< \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon)$

и предела при :

$\lim_{x \to +\infty}f(x) = A \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x (x > \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon)$

Эти соображения наводят на мысль рассматривать бесконечности и как равноправные члены системы , наряду с конечными числами. Благодаря этому достигается единообразие в формулировках и доказательствах теорем математического анализа.

Упорядоченность

Основная статья: Частично упорядоченное множество

Множество вещественных чисел линейно упорядоченно по отношению . Однако в нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то ее расширение до системы как раз состоит в добавлении максимального () и минимального () элементов.

Благодаря этому, в системе всякой непустое множество имеет точную верхную грань (конечную, если множество ограничено сверху, и , если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов и .

Топология расширенной числовой прямой

Основная статья: Топологическое пространство

Открытые множества и окрестности

Отношение порядка порождает топологию на . В топологии открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов

$(\alpha,\beta) = \{x \in \overline{\mathbb{R}} \colon \alpha < x < \beta\}, \quad (\alpha, +\infty] = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x > \alpha\}, \quad [-\infty, \beta) = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x < \beta\},$

где .

Окрестностью точки называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии , всякая окрестность точки включает один из интервалов указанного вида, содержащий .

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие -окрестности точки расширенной числовой прямой ().

В случае , то есть когда является числом, -окрестностью называется множество

$U_{\varepsilon} (a) \overset{\mathrm{def}}{=} (a - \varepsilon , a + \varepsilon).$

Если же , то

$U_{\varepsilon} (+\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left( \frac{1}{\varepsilon}, +\infty \right],$

а если , то

$U_{\varepsilon} (-\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left[ -\infty, -\frac{1}{\varepsilon} \right).$

Понятие -окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа соответствующие окрестности уменьшаются: .

Пределы

В все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть , где . В частности может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть

$\lim_{x \to x_0} f(x)=a \overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X \; (x \in U_{\delta}(x_0) \Rightarrow f(x) \in U_{\varepsilon}(a))$

Компактность

— компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел может рассматриваться как двухточечная компактификация . При этом оказывается гомеоформным отрезку . Этот факт имеет наглядное геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм задается формулой

$f(x) = \operatorname{tg} \left( \pi x - \frac{\pi}{2} \right)$

Примечания

Литература

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации