Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Формулировка

Пусть  — пространство с мерой и мера -конечна. Тогда если мера абсолютно непрерывна относительно , то существует измеримая функция , такая что

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия

• Функция , существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры относительно меры . Пишут:
  • Если  — -мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй,  — распределение некоторой случайной величины , а  — мера Лебега на , то производная Радона — Никодима меры относительно меры называется плотностью распределения случайной величины .

Свойства

• Пусть  — -конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве . Тогда если и , то

• Пусть . Тогда

выполнено -почти всюду.

• Пусть и  — измеримая функция, интегрируемая относительно меры , то

• Пусть и . Тогда

• Пусть  — заряд. Тогда

Вариации и обобщения

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.

См. также

• Никодим, Отто;
• Радон, Иоганн.