Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей "чувствительностью". Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов» («Математический Сборник», 1870 г. и «Bullet. des sciences mathém. et astronom.», 2-me série, t. III), «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» («Университетские Известия университета св. Владимира» за 1872).

Формулировка

Доказательство

1. Пусть выполняется неравенство:

Домножим обе части этого неравенства на и проинтегрируем, используя подстановку :

отсюда

так как , вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на , получим:

Прибавив к обеим частям интеграл , получим

Учитывая, что , при

Поскольку с возрастанием и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при :

Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд также сходится.

2. Пусть теперь имеет место неравенство:

Домножив обе части этого неравенства на и проинтегрировав, используя в левой части подстановку , получим:

Прибавим к обеим частям интеграл

Поскольку , то . Определим теперь последовательность следующим образом:

Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:

Суммируем этот интеграл по

то есть этот интеграл неограничен при . Поэтому:

Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд также расходится. ^[1]

Формулировка в предельной форме

Примечания