13-06-2023
Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши) — основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши.
Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.
Содержание |
Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано
Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая: Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).
|
Последовательность частных сумм ряда сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, то есть
что равносильно условию так как
Признаки сходимости рядов | ||
---|---|---|
Для знакоположительных рядов |
Необходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак | |
Для знакочередующихся рядов |
Признак Лейбница | |
Для рядов вида | Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле | |
Для функциональных рядов | Признак Вейерштрасса | |
Для рядов Фурье | Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича |
Критерий сходимости знакоположительных рядов.