Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем .

История

Название кривой предложил австрийский астроном Карл Людвиг фон Литров в 1838 г.

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

Параметрическое уравнение:

Уравнение в рациональном виде:

Свойства

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до

• Длина всей кривой .
• Радиус кривизны:

• Площадь, ограниченная кривой:

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.
• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Астроида является эволютой эллипса.

Литература

• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.