Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек , для которых выполняется соотношение , где — диаметр окружности, — полухорда этой окружности, перпендикулярная . Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Уравнения

,

• В прямоугольной системе координат:

• Параметрическое уравнение:

, где — угол между и

• В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

• Верзьера — кривая третьего порядка.
• Диаметр единственная ось симметрии кривой.
• Кривая имеет один максимум — и две точки перегиба —
• В окрестности вершины верзьера приближается к окружности диаметра . В точке происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке : .
• Площадь под графиком . Она вычисляется интегрированием уравнения по всему .
• Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси ) .

Построение

Строится окружность диаметра и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

См. также

• Кривая
• Распределение Коши

Литература

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.:АСТ:Астрель, 2006.