Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, включающий
- Все пространства с конечным числом точек;
- Все замкнутые и ограниченные подмножества евклидова пространства.
В топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.
Определение
Компа́ктное простра́нство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
Связанные определения
- Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
- Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.
- Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
- Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
- Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
- Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».
Свойства
- Свойства компактных метрических пространств:
Примеры компактных множеств
История
Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.
Литература
- О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
- Л.Шварц, Анализ, т. I, М., МИР, 1972.