Мультиномиальное распределение

Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами.

Определение

Пусть — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности:

Интуитивно событие означает, что испытание с номером привело к исходу . Пусть случайная величина равна количеству испытаний, приведших к исходу :

Тогда распределение вектора имеет функцию вероятности

$p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{ \begin{matrix} {n \choose {y_1 \ldots y_k}} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}, & \sum\limits_{j=1}^k y_j = n \\ 0, & \sum\limits_{j=1}^k y_j \not= n \end{matrix} \right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_1$ ,

где

— мультиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации

Математическое ожидание случайной величины имеет вид: . Диагональные элементы матрицы ковариации являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

Для остальных элементов имеем

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен .

	п·о·р Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| дискретное равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| гиперэкспоненциальное \| Колмогорова \| Коши \| Лапласа \| логнормальное \| нормальное (Гаусса) \| логистическое \| Накагами \|Парето \| полукруговое \| непрерывное равномерное \| Райса \| Рэлея \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| variance-gamma	многомерное нормальное \| копула

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации

Мультиномиальное распределение

Определение

Вектор средних и матрица ковариации