Распределение Стьюдента

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	{{{notation}}}
Параметры	— число степеней свободы
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения	где — гипергеометрическая функция
Математическое ожидание	, если
Медиана
Мода
Дисперсия	, если
Коэффициент асимметрии	, если
Коэффициент эксцесса	, если
Информационная энтропия	, : бета-функция
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение

Пусть  — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где

называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,

где  — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента

• Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то .

Моменты

Случайная величина имеет только моменты порядков , причём

, если нечётно;

, если чётно.

В частности,

,

, если .

Моменты порядков не определены.

Связь с другими распределениями

• Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

.

• Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где . Тогда

по распределению при .

• Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть . Тогда

.

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что . Обозначим выборочное среднее этой выборки, а её выборочную дисперсию. Тогда

.

Процентили

Таблицы значений

Таблица значений функций распределения Стьюдента