Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения.

Определения

Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Произвольная линейная комбинация компонентов вектора имеет нормальное распределение или является константой.
• Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин , вещественный вектор и матрица размерности , такие что:

.

• Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрица размерности , такие что характеристическая функция вектора имеет вид:

.

Замечания

• Если рассматривать только распределения с невырожденной ковариационной матрицей, то эквивалентным будет также следующее определение:

Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрица размерности , такие что плотность вероятности вектора имеет вид:

,

где — определитель матрицы , а — матрица обратная к

• Вектор является вектором средних значений , а — его ковариационная матрица.
• В случае , многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
• Если случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, то пишут .

Свойства многомерного нормального распределения

• Если вектор имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример [1])!
• Если случайные величины имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций такого вектора диагональна.
• Если имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если только компоненты имеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы.

Контрпример. Пусть , а с равными вероятностями. Тогда если , то корреляция и равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.

• Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если , а  — произвольная матрица размерности , то

.