Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха , проводимой до -го успеха.

Определение

Пусть — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину следующим образом. Пусть — номер -го успеха в этой последовательности. Тогда . Более строго, положим . Тогда

.

Распределение случайной величины , определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: .

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины имеет вид:

.

Функция распределения кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

.

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,

.