Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Признак сходимости д’Аламбера

13-06-2023

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится .

Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

Примеры

  • Ряд
абсолютно сходится для всех комплексных , так как
\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right|
        = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,
  • Ряд
расходится при всех , так как
\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right|
        = \lim |(n+1)z| = \infty.
  • Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда
    и     
удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

Признак сходимости д’Аламбера.

© 2014–2023 light-industry-up.ru, Россия, Краснодар, ул. Листопадная 53, +7 (861) 501-67-06