Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение

Равносторонний треугольник делится прямыми, параллельными его сторонам, на 4 равных равносторонних треугольника. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Получается множество , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Свойства

• Треугольник Серпинского замкнут.
• Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть, нецелую) Хаусдорфову размерность . В частности,
  • треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.

Интересные факты

• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
• Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии.^[1]

Примечания

• Треугольник Серпинского: тематические медиа-файлы на Викискладе
• Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки. — 1989. — № 9.